摘 要：用有限元法计算出弹性支撑位于网格节点上时的结构固有频率后，可采用两种方法处理支撑位于单元内部时的情形。第一种是将弹性支撑等效到单元节点上再求解特征值，第二种是结合在单元节点处，频率关于支撑位置的一阶导数（即灵敏度）值，利用单元形函数进行插值计算。两种方法都可以在不重新划分网格的情况下，获得结构的固有频率。通过分析得出第一种方法适用性较好，但计算效率较低。第二种方法要求结构的振型保持不变。数值算例结果表明：当弹性支撑的刚度和位置变化不改变结构的振型时，两种方法都有较好的计算精度。
因为在材料的破坏过程中起着关键性作用，超弹性材料中空穴生成和预存空穴的突然增长问题得到大量关注[1~3]。超弹性材料中的空穴生成现象早于1958年已被Gent 和 Lindley[4] 在实验中观察到，直到1982年Ball[5] 才基于非线性弹性理论的框架对超弹性材料中的空穴突然生成问题进行了理论分析，将其模拟为一类空穴分岔问题。 Horgan 和Abeyaratne [6]，Sivaloganathan[7] 将预存空穴的突然增长问题作为对空穴分岔问题的另一种解释。
在有限变形弹性理论框架下，受外边界表面拉伸载荷作用的不可压超弹性球体的平凡解是球体保持其不变形状态。对外加载荷存在一个极限值，当载荷大于这个极限值时，球体中心可能有一个空穴突然生成。现有的关于空穴分岔问题的文献大多分析空穴的静生成问题[1, 3, 8~9]。但许多物理问题本质上是动态的，在有限变形动力学理论框架下分析惯性力的影响就非常重要[10]。当突加载荷为常值时，动力学系统是自治的，对自治系统的研究方法已较为成熟[11~13]。对受突加常值拉伸载荷作用的不可压超弹性球体也存在一个临界载荷，当突加载荷小于这个临界值时，球体保持不变形状态，但当突加载荷大于这个临界值时，球体中心有空穴突然生成且空穴随时间的演化是周期振动[14~15]。目前对外加载荷为周期载荷的情况还研究得较少，Haslach 和Humphrey[10]，Shah 和 Humphrey[16] 分析了受周期内压作用的超弹性薄膜的动力学响应，但周期载荷作用下空穴生成的分岔问题尚未得到关注。
本文的目的是在有限变形动力学的框架下分析受外加表面周期载荷作用的超弹性材料球体中的空穴动生成问题。首先由基本假设得到空穴半径和外加周期载荷之间的微分关系，然后通过对一阶微分方程组的Runge-Kutta数值积分得到空穴变形的时程曲线、相图和庞加莱截面图等，通过常用的动力学理论分析了球体的动力学响应和破坏条件。计算结果表明对周期载荷的平均载荷存在一个临界值，当平均载荷小于这个临界值时，球体保持不变形状态；但当平均载荷大于这个临界值时，一个球形空穴可在球体中心突然生成，且空穴随时间的演化为拟周期振动。而且对周期载荷的平均载荷存在另一个临界值，当平均载荷大于这个临界值时，空穴无限增大，球体最终会被破坏。另外讨论了周期载荷的幅值载荷和频率对两个临界值的影响。
